分布について : 正規分布と標準正規分布、標本から母平均の推定する(標準偏差がわかっている場合)
分布するということ
- まちまちの値をとるということ。
正規分布
- 平均を頂点とした釣鐘型の分布
正規分布の標準化
- 正規分布のそれぞれの値から平均値をマイナスし、標準偏差で除算。
- (x- μ) / σ
- この値の分布が平均0、標準偏差1の分布になる。これが、標準化された正規分布。標準正規分布
- (x- μ)を偏差という。偏差の合計は0になるので、標準正規分布の平均は0になる。
- σで除算することで(x- μ)が標準偏差の何倍かがわかる。つまり、その値がどのくらい月並みか特殊化がわかる。
- 例えば、17歳男子の平均身長170.7 標準偏差 5.79 の場合
- 182cmの男子の(x- μ) / σ は (182- 170.7) / 5.79 = 1.951
- つまり、標準偏差の約1.95倍
- 2倍近いので比較的特殊。
- 95%の(x- μ) / σが、-1.96 ≦ (x- μ) / σ ≦ 1.96 の範囲に収まる。
- 1.95はぎりぎり95%に収まっている
標本平均の分布
- 正規母集団から「データをいくつか取り出して平均を算出する」ということを何度も繰り返す。
- そうすると標本平均の分布ができる。
- この分布も正規分布する。
- この分布の平均、つまり、標本平均の平均は母集団の平均になる。
河原のすべての石の重さが正規母集団で、標準偏差が20グラムだとする。
- 母集団の平均を区間推定してみる。
- 「25個の石を拾って重さを平均する」を何度も繰り返して取得した平均の正規分布を標準化する。
- ((「25個の石を拾って重さを平均する」を何度も繰り返して取得した平均X) - 母集団の平均μ ) / (この分布の標準偏差4) の分布が標準正規分布になる。
- この標準正規分布もその特性上、-1.96 ≦ (X- μ) / 4 ≦ 1.96の範囲に値が収まる。Xはまちまちの値をとり、値によって、 (X- μ) / 4 が 1.96より大きくなったり小さくなったり、-1.96より大きくなったり小さくなったりする。
- 実際に観測された標本平均80を代入すると、-1.96 ≦ (80- μ) / 4 ≦ 1.96。この式が成り立たないμは、現実の母集団の平均値として不適切であると考える。
- 72.16 ≦ μ ≦ 87.84
- μは95%の確率で72.16以上、87.84以下
