二つの母平均の差の区間推定
ふたつの母平均の区間推定
ふたつの母集団から取り出した標本の平均が,xとyなら
- xとyの差の平均は x - yになる
- xとyの差の分散は、
- 母分散がわかっているなら、両方の標本分散の和、つまり、(xの標本分散 = xの母分散 / xの標本数) + (yの標本分散 = yの母分散 / yの標本数)
- 母分散がわかっていないなら、xの不偏分散とyの不偏分散を合成する。
- つまり、((xの標本数 - 1) * xの不偏分散 + (yの標本数 - 1) * yの不偏分散) / (xの標本数 + yの標本数 - 2)
- これをプールした分散という。
- 母分散がわかっているなら、両方の標本分散の和、つまり、(xの標本分散 = xの母分散 / xの標本数) + (yの標本分散 = yの母分散 / yの標本数)
- 母分散がわかっていないなら、xの不偏分散とyの不偏分散を合成する。
母分散がわかっているなら, z値で母平均を区間推定
- z値は、((x - y) - 差の母平均) / √ (xの標本分散 = xの母分散 / xの標本数) + (yの標本分散 = yの母分散 / yの標本数)
- 95%信頼区間なら、
- -1.96 < ((x - y) - 差の母平均) / √ (xの標本分散 = xの母分散 / xの標本数) + (yの標本分散 = yの母分散 / yの標本数) < 1.96
- 差の母平均 = (x - y) +- 1.96 * √ (xの標本分散 = xの母分散 / xの標本数) + (yの標本分散 = yの母分散 / yの標本数)
母分散がわかっていないなら, 自由度(xの標本数 + yの標本数 - 2)のt値で母平均を区間推定
- t値は、((x - y) - 差の母平均) / √ ((1 / xの標本数) + (1 / yの標本数) * プールした分散)
- 95%信頼区間、 xの標本数が34,yの標本数が33なら、
- -2 < ((x - y) - 差の母平均) / √ ((1 / xの標本数) + (1 / yの標本数) * プールした分散) < 2
差の母平均 = (x - y) +- 2 * √ ((1 / xの標本数) + (1 / yの標本数) * プールした分散)
対応のある標本の場合は、ひとつの標本であると想定する。自由度は標本数 - 1
母集団比率の推定/検定
- ある大都市で1200世帯を無作為に抽出
- 65世帯に要介護の家族がいる
- この年全体での要介護者のいる世帯の割合はどのくらいか
95%区間推定する
以下の値は標準正規分布する
- (サンプルの中での要介護者のいる世帯の割合 - 母集団の中での要介護者のいる世帯の割合) / √((サンプルの中での要介護者のいる世帯の割合)(1 -サンプルの中での要介護者のいる世帯の割合 ) / 標本数 )
- 従って、95%区間推定なら、以下の範囲を成立させるpが信頼区間
- -1.96 <= ( 0.054 - p ) / √((0.054 * 0.946) / 1200) <= 1.96
import math upper = 0.054 + 1.96 * math.sqrt((0.054 * 0.946) / 1200) lower = 0.054 - 1.96 * math.sqrt((0.054 * 0.946) / 1200) print upper print lower
結果は
0.0667881551445 0.0412118448555
- 全国から無作為に2400人を抽出
- そのうち、1250人が政策に賛成
有権者全体の半数が賛成していると言えるか
帰無仮説は、
- 半数が賛成している
対立仮説は
- 半数が賛成してはいない(半数以下)
母集団の比率を0.5として、1250 / 2400の割合で賛成がいるのがどの程度レアなのか調べる
- -1.96 <= ( 0.054 - p ) / √((0.054 * 0.946) / 1200) <= 1.96
import math sample_p = (1250 / 2400) z = (sample_p - 0.5) / math.sqrt((sample_p * (1 - sample_p)) / 2400) print z
結果は、
2.04
- 95%で片側検定するなら、1.645以上なら棄却域に入る
2.04 > 1.645 なので、仮説は棄却
母分散の推定
光速の測定値は以下の通り。
850 740 900 1070 930 850 950 980 980 880 1000 980 930 650 760 810 1000 960 960
この結果から、光速の分散を区間推定する。
カイ２乗値
- 次の値は自由度n - 1のカイ２乗分布する
- 偏差の２乗和を分散で除算した値
- 自由度25 -1で95%信頼区間の場合、
- 下限は8.91、αは0.975、カイ２乗分布のグラフの面積の97.5%
- 上限は32.85、αは0.025、カイ２乗分布のグラフの面積の2.5%
- つまり、8.91 <= カイ２乗値 <= 32.85 になる母分散が区間になる。
data = [299850, 299740, 299900, 300070, 299930, 299850, 299950, 299980, 299980, 299880, 300000, 299980, 299930, 299650, 299760, 299810, 300000, 300000, 299960, 299960] # 標本平均 sample_mean = sum(data) / len(data) # 偏差の２乗和 squared_deviation = sum(map(lambda x: (x - sample_mean) * (x - sample_mean), data)) # 8.91 <= カイ２乗値 <= 32.85 # カイ２乗値 = 偏差の２乗和 / 母分散 # 母分散 = 偏差の２乗和 / カイ２乗値 chisquared_upper = squared_deviation / 8.91 chisquared_lower = squared_deviation / 32.85 print chisquared_lower print chisquared_upper
結果は、
6367.73211568 23476.9921437
母平均の推定/検定
区間推定
光速の測定値は以下の通り。
850 740 900 1070 930 850 950 980 980 880 1000 980 930 650 760 810 1000 960 960
この結果から、光速を区間推定する。信頼区間は95%。
- 母集団の分散がわからない場合は、
- 標本の平均
- 標本の普遍分散 を使って、推定する。
import math data = [850, 740, 900, 1070, 930, 850, 950, 980, 980, 880, 1000, 980, 930, 650, 760, 810, 1000, 960, 960] # 平均 sample_mean = sum(data) / len(data) # 普遍分散 deviation =sum(map(lambda n: (n - sample_mean) * (n - sample_mean), data)) / (len(data) - 1) # t = 標本平均 - 母平均 / (√不変分散/n) # 標本平均 = sample_mean, 不変分散 = deviation, n = len(data) - 1 # -2.09 <= t <= 2.09 となる 母平均の範囲を求める # まず下限 # t = (sample_mean - 母平均) / (√deviation/len(data)) = 2.09 だから mean_lower = sample_mean - 2.09 * (math.sqrt(deviation / len(data) - 1)) # まず上限 # t = (sample_mean - 母平均) / (√deviation/len(data)) = -2.09 だから mean_upper = sample_mean + 2.09 * (math.sqrt(deviation / len(data) - 1)) print 'lower ' + str(mean_lower) print 'upper ' + str(mean_upper)
結果は
lower 853.449643918 upper 954.550356082
検定
- 新入生 3000人
- 毎年試験
- 今年の新入生から36人をサンプリングしたら、平均点は480点
- 今年は例年よりも賢いのか
z検定
- これまでの平均は450点
- これまでの標準偏差は80点
帰無仮説を「今年も例年通りで学力に変化なし」 = 平均は450 対立仮説を「今年は変化があった」 = 平均は450ではない
とする。
- 変化があったかどうかを検定するので、両側検定
- 有意水準５パーセント
- 従来の試験得点は平均450 分散80の正規分布
- この正規分布を前提にした場合、36人の平均値である480はどの程度レアなのか
- あまりにもレアなら、変化があったと判断できる
z = (480 - 450) / (80 / 6)
結果は、2.25なので、1.96よりも大きい。棄却域に入るので、帰無仮説を棄却する。つまり、「変化があった」ということ。
t検定
- パン屋チェーン店のクリームパンの重さは105g
- しかし、A支店はもっと重くしている疑いがある
A支店のクリームパン26個の重さを調べたところ
- 平均106g
- 標準偏差2g だった。
帰無仮説
- A支店のクリームパンの重さは平均したて105gである。
t値は、2.54
import math t = (106 - 105) / (2 / math.sqrt(26))
- 「重くしている可能性がある」ので右側片側検定
- 自由度25で5%に対するt値は、1.708
- 2.54の方が大きいので、仮説は棄却する。
回帰分析について
以下のデータの公転周期=orbital-periodを応答変数、説明変数をsemi-major-axisにして分析する。
planet,inclination,eccentricity,semi-major-axis,orbital-period Mercury,7.004,0.2056,0.3871,0.241 Venus,3.39471,0.0068,0.72333,0.615 Earth,0.00005,0.0167,1,1 Mars,1.85061,0.0934,1.52366,1.881 Jupiter,1.3053,0.0484,5.20336,11.86 Saturn,2.48446,0.0542,9.53707,29.46 Uranus,0.774,0.0461,19.19138,84.01 Neptune,1.76917,0.0086,30.06896,164.79 Pluto,17.089,0.25025,39.445,247.74
import math import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt data = pd.read_csv("/planet.data") axismean = data['semi-major-axis'].mean() periodmean = data['orbital-period'].mean() axismean_var = data.apply(lambda x: (x["semi-major-axis"] - axismean) * (x["semi-major-axis"] - axismean) , axis=1).sum() / data['semi-major-axis'].count() - 1 periodmean_var = data.apply(lambda x: (x["orbital-period"] - periodmean) * (x["orbital-period"] - periodmean) , axis=1).sum() / data['orbital-period'].count() - 1 covariance = data.apply(lambda x: (x["semi-major-axis"] - axismean) * (x["orbital-period"] - periodmean), axis=1).sum() / data['orbital-period'].count() - 1 correlation_coefficient = covariance / (math.sqrt(axismean_var) * math.sqrt(periodmean_var)) regression_coefficient = covariance / axismean_var alpha = periodmean - regression_coefficient * axismean plt.scatter(data['semi-major-axis'], data['orbital-period']) r = np.corrcoef(data['semi-major-axis'], data['orbital-period']) x = np.linspace(0, 50) y = alpha + regression_coefficient * x plt.plot(x, y, "r-") plt.title(" alpha = " + str(round(alpha,2)) + " regression_coefficient = " + str(round(regression_coefficient,2)) + " correlation_coefficient = " + str(round(correlation_coefficient,2))) plt.show()
結果
